Fachartikel zu den logischen Ebenen

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Die Russellsche Antinomie

Gegeben ist die Menge der logisch definierbaren Klassen. Diese wird dichotomisch in solche geteilt, die sich selbst als Element enthalten und solche, die sich nicht selbst als Element enthalten. Die erste Klasse wollen wir C^R bezeichnen, da sie selbstreferentiell, also reflexiv ist. Die zweite C^I, da sie irreflexiv ist.

Wenn alle möglich Klassen so geordnet werden können, dann natürlich auch die beiden Klassen C^R und C^I.

Also:

Ist C^R eine Element von C^I oder von C^R?

Ist C^I ein Element von C^R, dann müßte C^I sich selbst enthalten, da C^R ja nur selbstreferentielle Klassen enthält. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, daß C^I nur irreflexive Klassen enthält. Gehört C^I aber nicht zu C^R, so muß es nach Voraussetzung zu C^I gehören. C^I enthält sich dann selbst, was wiederum im Widerspruch zur Voraussetzung steht.

Formal können wir diesen Gedanken so darstellen:

(1) C^I

C^R

C^I

C^I
(2) C^I

C^I

C^R

Bei dichotomer Aufteilung von C^I und C^R folgt aus (1) und (2)

(3) C^I

C^R

N(C^I

C^I)

Wir setzen jetzt in (1) und (2) die rechte Seite der Äquivalenz ein.

(4) N(C^I

C^I)

C^I
(5) C^I

C^I

N (C^I

C^I)

Durch Einsetzung in (4) und (5) erhalten wir

(6) Np

p
(7) p

Np

Aus (6) folgt daß Np falsch sein muß und aus (7) folgt das p falsch sein muß. Nach der klassischen Negationstheorie ist das unmöglich. (N:= Negation)

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